Uma caixa tem 12 bolas e estão mais 12 bolas fora da caixa. Considera a experiência que consiste em lançar duas vezes um dado. Se, em qualquer lançamento, sai par, tiram-se da caixa tantas bolas como o número indicado no dado; se sai ímpar, colocam-se na caixa tantas bolas como o número indicado no dado. Sejam A e B os acontecimentos:
A: «Sai 4 no primeiro lançamento.»
B: «Ficam pelo menos 10 bolas na caixa.»
Sem usar a fórmula da probabilidade condicionada, calcula P(B/A). Numa pequena composição, explica o raciocínio em que baseaste a resposta.
(Adaptado de TE_XM)
Segundo o enunciado, se sair par no lançamento do dado, tiram-se da caixa tantas bolas como o número indicado. Deste modo, se sair o número 4 no primeiro lançamento do dado, irão ser retiradas da caixa 4 bolas, o que vai fazer com que nesta apenas restem 8 bolas. Como queremos aumentar o número de bolas na caixa, para que nesta fiquem pelo menos 10 bolas, é necessário que no próximo lançamento do dado saia um número ímpar (1, 3 ou 5). Sabemos que, se sair o número 1, na caixa apenas será adicionada 1 bola(ficarão na caixa apenas 9 bolas). Como queremos pelo menos 10 bolas dentro da caixa, apenas poderá sair o número 3 (ficarão 11 bolas na caixa) ou o número 5 (ficarão 14 bolas na caixa). Deste modo, a probabilidade de ficarem pelo menos 10 bolas na caixa, sabendo que no primeiro lançamento saiu o número 4 é de (2/6)=(1/3) (porque tal só acontecerá se sair o número 3 ou 5 no segundo e último lançamento, de 6 números existentes no dado).
ResponderEliminarNo lançamento sai o numero 4, logo quer dizer que temos de retirar 4 bolas do saco. Ficando assim o saco com 8 bolas. Para que o saco fique com pelo menos 10 bolas na caixa será preciso sair no segundo lançamento um numero ímpar maior que 1, visto que se sair ímpar acrescentamos esse numero de bolas no saco. Portanto so poderá sair o numero 3 ou o 5 no segundo lançamento.
ResponderEliminarSabendo que no primeiro lançamento sai o nº4, para o segundo lançamento pode sair o nº1,2,3,4,5 ou 6. Assim ficamos com 6 casos possíveis.
ResponderEliminarPara que a condição seja estabelecida, só podem sair dois dos números, o 3 ou o 5.
-->Sair 3 = (12-4)+3 = 11
-->Sair 5 = (12-4)+5 = 13
Ficamos com dois casos favoráveis.Nos restantes casos o número de bolas a ficar na caixa é menor que dez.
Assim, pela Lei de Laplace (P=casos favoráveis/casos possíveis), a probabilidade será igual a 2/6, ou seja, 1/3, visto que só em dois dos 6 casos possíveis, a caixa fica com pelo menos dez bolas dentro.
o acontecimento P(B/A) é uma probabilidade condicionada, ou seja, o acontecimento A é certo, condicionando assim o acontecimento B.
ResponderEliminarSendo o acontecimento A "sair a face 4 no lançamento" sabemos que iremos ficar com 8 bolas no interior da caixa, já que ao sair um numero par necessitamos de retirar esse numero de bolas da caixa. De seguida, e para ficarmos com 10 bolas na caixa, necessitamos que saia a face 1 nos dois lançamentos seguintes, de forma a que se coloquem 2 bolas, uma bola de cada vez, dentro da caixa.
Sendo assim a probabilidade de P(B/A)=(1/6)x (1/6), que vai dar a probabilidade final de P(B/A)=1/36
Na caixa estão presentes 12, e fora da caixa também há 12 bolas. Após o primeiro lançamento, que sabemos que sai o 4, ficam, momentaneamente na caixa, 8 bolas. No lançamento seguinte, e como tem que estar na caixa pelo menos 10 bolas, para atingirmos esse número tem de sair o número 3 ou o 5. Concluindo, ficam na caixa, possívelmente, 11 ou 13 bolas, o que vai de acordo com os acontecimentos A e B. P (B/A)= 10/12 * 4/10= 1/3.
ResponderEliminarInicialmente estão 12 bolas dentro da caixa e 12 bolas fora da caixa. Quando sai par no lançamento do dado temos que retirar tantas bolas da caixa como o número saído no dado, quando sai ímpar no lançamento do dado temos que colocar na caixa tantas bolas como o número indicado no dado. Deste modo, se sair 4 no primeiro lançamento vamos ficar com 16 bolas fora da caixa e com 8 no interior da caixa. Sendo assim, no segundo lançamento tem de sair 3 ou 5 no dado de modo a que fiquem pelo 10 bolas no interior da caixa.
ResponderEliminarA probabilidade de retirar 4 é 1/6 ao passo que retirar 3 ou 5 é 2/6. Assim concluímos que a probabilidade de B|A é 1/3, pois P= (1/6x2/6)/1/6 =1/3
A: "Sai 4 no primeiro lançamento"
ResponderEliminarB: "Ficam pelo menos 10 bolas na caixa"
Temos doze bolas dentro da caixa e doze bolas fora da caixa. Logo A sabendo que aconteceu ficamos com 8 bolas dentro da caixa e dezasseis fora da caixa, porque saiu o numero quatro. Entao para termos pelo menos dez bolas dentro da caixa na jogada seguinte, so podem sair bolas ímpar, para que se coloque dentro da caixa, e para ter pelo menos as dez bolas so podem sair a bola três e cinco. Logo como o dado é de seis faces, temos dois casos provaveis e seis casos possiveis. Logo ficamos com um terço da probabilidade de acontecer B sabendo que aconteceu A.
A P(B/A) é a probabilidade de ficarem pelo menos 10 bolas na caixa sabendo que no primeiro lançamento saiu o número 4. Quando sai par retiramos bolas e quando sai impar colocamos bolas na caixa. Como no primeiro lançamento saiu 4, retiramos 4 bolas da caixa. Para ficarem pelo menos 10 bolas tem que sair numero impar para podermos introduzir novas bolas na caixa.
ResponderEliminarO único número impar que ficam pelo 10 bolas na caixa é o número 3. Logo P(B/A) é a probabilidade de sair 3. Existe apenas 1 caso favoravel e 6 casos favoraveis. Segundo a lei de Laplace a probalidade de um acontecimento é a divisão dos casos favoraveis pelos casos possiveis, quando estes são equiprovaveis. Concluido a probabilidade é 1/6.
Respeitando todas as regras do nosso problema e utilizando a lei de Laplace em que todos os acontecimentos são equiprováveis e que a sua probabilidade é conseguida através do quociente entre os casos favoráveis e os casos possíveis de cada acontecimento.
ResponderEliminarSabemos que no primeiro lançamento de dado obteve-se o número quatro, um número par, retirando-se quatro das doze bolas da caixa, ficando apenas oito.
Então para que o acontecimento B se realize é necessário que não saia nenhuma bola da caixa, logo terá de sair um número ímpar. Assim, para ficarem pelo menos 10 bolas na caixa é essencial que saia no segundo lançamento o número três ou o número cinco, para haver inserção de três ou cinco bolas na caixa. Portanto, no final, ficando onze ou treze bolas na caixa e onze ou treze fora da caixa.
Então, poemos concluir que a probabilidade de B sabendo que aconteceu A é igual a 2/3, pois existem três números ímpares dos quais apenas dois satisfazem as condições da nossa questão.
Sabe-se que existem 12 bolas numa caixa e 12 bolas fora. Considera-se o lançamento de 2 dados equilibrados. Após a realização do diagrama de árvore relativo ao laçamento de 2 dados e à condição imposta no problema, averigua-se que a probabilidade de estarem pelo menos 10 bolas na caixa é (p=1/6).
ResponderEliminarEm 12 números existentes, númerados de 1 a 12, sabe-se que a probalididade de sair par é (p=3/6), visto que o 4 é par, já é aqui contemplado.
Ao aplicar a regra de Laplace, casos favoráveis sobre casos possíveis, têm-se que (p=(1/6)/(3/6)), logo (p=12/3).
Sabe-se assim que p(B/A)= 1/3.
Ficam pelo menos 10 bolas na caixa, sabendo que no primeiro lançamento do dado saiu o número 4, número par, logo às 12 bolas que estão na caixa, tiram-se 4, portanto 12-4=8, então ficam 8 bolas na caixa. No entanto falta ser lançado o segundo dado, e para ficarem pelo menos 10 bolas na caixa teria que sair um número ímpar para ser colocarem bolas na caixa e ficarem pelo menos 10, portanto para que isso aconteça, no segundo lançamento teria que sair o número 3 e assim ficariam pelo menos 10 bolas na caixa.
ResponderEliminarA fórmula condicionada p(B/A) significa a probabilidade de ficarem pelo menos 10 bolas na caixa sabendo que no 1º lançamento saiu o nº4.
ResponderEliminarNa caixa exitem 12 bolas no exterior e 12 bolas no interior ou seja no total são 24 bolas.
No problema que nos foi dado sabemos que no 1º lançamento do dado saiu o nº 4 entao podemos concluir que foram tiradas 4 botas da caixa, pois no problema é dito que se em qualquer lançamento sair par, tiram-se tantas bolas como o nº inidicado no dado.
No acontecimento B sabemos que ficam pelo menos 10 bolas no interior da caixa, ou seja vamos ter que introduzir bolas na caixa, então terá que sair um numero ímpar. No segundo lançamento então saiu o número 3 na qual a sua probabilidade é 1/6, e como sabemos que se sair ímpar, colocam-se na caixa tantas bolas como o número indicado no dado, com isto conluimos que ficamos na caixa com pelo menos 10 bolas.
Concluimos entao para que fiquem pelo menos 10 bolas,no primeiro lançamento tera sáido o nº4 e no segundo lançamento terá saído o nº3.
Comecemos por explicar os acontecimentos:
ResponderEliminarAcontecimento A: Sair 4 no 1º lançamento, ou seja, como sai 4 tiram-se das 12 bolas 4, ou seja ficam 8 bolas na caixa.
Acontecimento B: Ficar pelo menos 10 bolas na caixa é a mesma coisa que ficarem 10,11,12,13,14 ou 15.
P(B/A) é igual a "Qual a probabilidade de ficarem pelo menos 10 bolas no saco sabendo que saiu 4 no 1º lançamento?"
Para que se possa verificar isso tem que sair necessariamente um número impar, pois quando sair número impar poem-se as bolas que estão fora da caixa dentro dela. POderia então sair o 1,3 ou 5. Se sair o número 1 ficamos apenas com 9 bolas, logo excluimos este caso. Sobram-nos então 3 (11 bolas) ou o 5 (13 bolas), ou seja os casos favoráveis. Os casos possíveis são todos os números que poderão sair no dado, ou seja 6 casos. Pela lei de Laplace a probablilidade de uma acontecimento é igual aos casos favoráveis a dividir pelos casos possíveis se estes forem equiprováveis, temos então que a p=2/6=1/3
Sabendo quwe no primeiro lançamento p número saído é o quatro isso significa que, sendo o quatro par, teremos de retirar quatro bolas da caixa ficando assim com oito bolas dentro da caixa. Se após o segundo lançamento teremos dez ou mais bolas dentro das caixa, então isso significa que no segundo lançamento o número indicado no dedo sería ímpar para assim colocarmos bolas dentro da caixa. Sabendo que ficam pelo menos dez ou mais bolas dentro da caixa e sabendo que o número indicado no dado é ímpar, então, e sabendo que antes do segundo lançamento temos oito bolas na caixa, o número indicado no dado após o segundo lançamento terá de ser o três ou o cinco para poder ser maior do que dez já que se saísse o um no segundo lançamento nao seria suficiente para no final ter dez bolas na caixa. (8+1=9)
ResponderEliminarAssim, sabendo que em seis números indicados no dados apenas dois nos servem para no final termos dez ou mais bolas na caixa sabendo que no primeiro lançamento sai par, então para obtermos o resultado pretendido temos que apenas nos servem dois números do dado para a resolução do exercício, por isso, a probabilidade será de 2/6=1/3
Dado que os dados são equiprovaveis, a probabilidade de sair uma face é igual á probabilidade de sair outra face, podemos recorrer á regra de La Place.
ResponderEliminarComo saiu o 4 no 1º lançamento e que a P(ter saido o 4)=1/6, este facto levanos a retirar 4 bolas da caixa., ficando esta com 8 bolas. No final teria de ter pelo menoas 10 bolas dentro da caixa, para isso, no segundo lançamento teria de em sair uma face numerada com um numeto impar para adicinar bolas do saco á caixa. So me poderiam sair duas das três faces possiveis, a face 3 e a face 5(pois a face 1 seria unsuficiente para chegar as 10 bolas). A P(sair o 3 ou 5)=2/6, logo a P(B/A)=2/6 =1/3
Inicialmente, temos 12 bolas dentro da caixa e 12 bolas fora da caixa. Temos de lançar 2 vezes um dado e, se sair par temos de tirar o nº de bolas que o dado indicar, se sair ímpar temos de colocar o nº de bolas que o dado indicar.
ResponderEliminarApós o 1º lançamento sai o nº 4, o que indica que temos de tirar 4 bolas da caixa, ficando dentro dela 8 bolas. Segundo o enunciado, temos de ficar com pelo menos 10 bolas. Para colocarmos bolas na caixa, terá de sair um nº ímpar (1,3,5). Se tirarmos o nº1 ficamos com 9 bolas na caixa, por isso, só pode sair ou o nº3, ficando 11 bolas na caixa ou o nº5, ficando 13 bolas na caixa. A probabilidade de sair o nº3 ou o nº5 é de 2/6, que, simplificado é 1/3. P(3;5)=2/6=1/3
a probablidade de p(B/A) é nula pois é impossivel o acontecimento (B) ficarem 10 bolas na caixa se o acontecimento (A) se realizar.Pois quando se realiza o acontecimento (A) ficamos com8 bolas (12-4=8) e para se realizar o (B) teria que se meter 2 bolas na caixa.O numero de bolas a meter na caixa deve ser igual ao numero do dado,e tem tambem que ser impar,mas como 2 é par a caixa não pode conter 10 bolas se acontecer (A),apenas pode conter (9;11;13) pois só à 2 lançamentos
ResponderEliminarInicialmente temos 12 bolas na caixa,e 12 fora da mesma. Vamos lançar 2 vezes um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair par tantas bolas como o número indicado no dado, se sair impar, colocam-se na caixa tantas bolas como o número indicado no dado. Segundo o enunciado no primeiro lançamento, saí o número 4, então vão ser retiradas da caixa 4 bolas, ficando esta com 8 bolas, e fora vamos ficar com 16.
ResponderEliminarPara o acontecimento B precisamos de ficar com pelo menos 10 bolas na caixa. Isto porque se sair par retiramos da caixa, então tem que sair impar. Se sair 1 ficamos apenas com 9 bolas, se sair 3 ficamos com 11 e se sair 5 ficamos com 13. Por isso ficamos so temos duas hipotses, 3 ou 5.
Casos favoráveis: (3 e 5) são 2
casos possiveis: 6 que sao o número de faces do dado
então a probabilidade vai ser de 2/6 isto vai ser igual a 1/3
Segundo a probabilidade de P(B/A), tem de ficar pelo menos 10 bolas dentro da caixa. Quando sai par retiramos as bolas, quando sai impar colocamos as bolas. Numa caixa com 12 bolas efectuamos um lançamento saindo o numero 4, ou seja, retiramos 4 bolas da caixa ficando esta com 8 bolas.
ResponderEliminarPara ficar pelo menos 10 bolas tem que sair número impar para as colocarem dentro da caixa. O unico numero impar em que ficam pelo menos 10 bolas é o numero 3, logo a probabilidade de sair 3, é 1/6, sendo esta a probabilidade condicionada.
Sabemos que:
ResponderEliminarA- Sai 4 no 1ºlançamento, ou seja, como sai um número par tiram-se 4 bolas da caixa ficando assim com 8.
B- Ficam pelo menos 10 bolas, ou seja, podem ficar 10, 12, 13, 14 ,ou 15.
P(B/A) é igual a probabilidade de ficarem pelo menos 10 bolas, sabendo que saiu 4 no 1ºlançamento.
Para isso ocorrer tem que sair necessáriamente um número ímpar, pois quando isso acontece temos de colocar o número de bolas que estão indicadas no dado, sendo assim ou colocamos 3 ou 5.
Pela Lei de Laplace, que sabemos que é casos favoráveis a dividir pelos casos possíveis, se os acontecimentos forem equiprováveis, entao sabemos que a nossa probabilidade neste caso é igual a 2/6.
Se sair 4 no primeiro lançamento, sabendo que é um número par´, ficam exatamente 8 bolas dentro da caixa.
ResponderEliminarNo segundo lançamento sabemos que podem sair 6 casos diferentes (1,2,3,4,5 ou 6), mas, o que nos importa é ficar com pelo monos 10 bolas no saco. Para tal efeito pode sair o 3 e ficamos com 11 bolas no saco ou sair 5 e ficamos com 13 bolas no saco.
Sendo assim, a p(B/A)=2(casos favoráveis)/6(casos possíveis) (=) p(B/A)=1/3
Se temos (B/A), sabemos que o acontecimento A acontece, logo, temos 12 bolas na caixa às quais tiramos 4 bolas.
ResponderEliminarP(A)=3/6=1/2, pois existem 3 hipóteses de sair o número 4 (3+1=2+2=1+3).
P(B)=1/6, pois, sabendo que ocorreu A, ficamos apenas com 8 bolas e, como temos de ter pelo menos 10 bolas na caixa (acontecimento B), tería de sair um número ímpar no segundo lançamento (neste caso, o número 3). Acrescentando 3 bolas à caixa, já teríamos 11 bolas, e o acontecimento B diz-nos que temos de ter pelo menos 10. Só existe uma hipótese de sair o número 3 em apenas um lançamento(2+1), daí P(B)=1/6.
Posto isto, P(B/A)=(1/2)x(1/6)=1/12.
De acordo com a regra de laplace, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o numero de casos favoraveis, a realização desse acontecimento e o numero de casos possiveis, se estes forem todos equiprovaveis.
ResponderEliminarPara resolver o problema vi qual era a P(A), que é "sai 4 no primeiro lançamento", ou seja, tiram-se quatro bolas das dez existentes. Na P(B) ficam pelo menos dez bolas, sabendo que saio o 4 no primeiro lançamento.
Como tem de sair um numero impar, põem-se as bolas que estão fora da caixa, o cinco e o tres, logo, a P(B/A) é igual a 2/6 , ou seja, 1/3.
- A:Sai 4 no primeiro lançamento
ResponderEliminar- B:Ficam pelo menos 10 bolas na caixa
- P(B/A)= ?
A formula da probabilidade condicionada, P(B/A), significa a probabilidade de ficarmos com pelo menos 10 bolas na caixa, sabendo que no primeiro lançamento foram retiradas, da mesma caixa, 4 bolas, contendo esta inicalmente um número total de 12 bolas.
No primeiro lançamento é nos dada a informação de que saiu face 4, o que significa que da caixa irão ser retiradas 4 bolas. Ao efectuarmos o 2º lançamento, apenas 8 bolas se encontram na caixa. Como queremos saber a probabilidade do acontecimento "Ficam pelo menos 10 bolas na caixa" e no problema nos é dada a informação de que só serão repostas bolas na caixa caso saia número ímpa, então, a partir deste momento apenas 3 acontecimentos são possiveis: sair face 1, face 3 ou face 5. Acontece que, se sair face 1, apenas uma bola será reposta e somando as outras 8 que já estava dentro da caixa, prefaz um nuúmero total de 9 bolas, acontecimento que não satisfaz as condições de B. Restam-nos 2 acontecimentos dos 3 possiveis: sair face 3 ou 5. Ambas as situações satisfazem o acontecimento B. Se sair face 3, na caixa ficaraão 11 bolas, enquanto que se sair face 5 ficarão na caixa um total de 13 bolas. Ambos os números são superiores a 10, tornando-se assim acontecimentos possiveis, mas mais importante, acontecimentos favoraveis.
Temos então que:
- Após o 1º lançamento ficam na caixa 8 bolas;
- No 2º lançamento, tendo que sair face ímpar, temos 3 acontecimentos possiveis (face 1, 3 ou 5), mas apenas 2 favoraveis (face 3 ou 5). Então: P(B/A)= 2/3
Um dado é numerado de 1 a 6. Este é lançado duas vezes. No primeiro lançamento sai o número 4, que é um número par, ficando assim na caixa 8 bolas(12-4=8). Sendo assim, temos no segundo lançamento 6 casos possíveis(1,2,3,4,5 e 6), porém só dois são favoráveis (3 e o 5), pois só com eles é que a caixa consegue ter pelo menos 10 bolas (8+3=11 e 8+5=13). Se saísse 1, a caixa ficaria com 9 bolas e se saísse um dos restantes números a caixa ficaria com menos de 9 bolas, visto que os que sobram são pares (2,4 e 6).
ResponderEliminarEntão a probabilidade de (B/A)= 2/6 = 1/3.